Nato a Cortale, piccolo borgo in comune di Reana del Rojale (Udine) il 23 aprile 1863, accompagnò il padre fornaio nell’emigrazione nella zona di Salisburgo. Entrato in Seminario a Udine, fu ordinato presbitero il 28 aprile 1888. Nominato vescovo di Albenga l’11 aprile 1911, fu consacrato vescovo il successivo 28 maggio nella cattedrale di Udine. Ma il 21 novembre 1913 fu trasferito alle diocesi di Feltre e Belluno: il 26 luglio 1914 prese possesso canonico della diocesi di Feltre e l’8 agosto di quella di Belluno. Resse le due diocesi per trent’anni. Di pietà profonda, si dedicò con tutte le forze al ministero pastorale anche nei difficili periodi delle due Guerre mondiali. Venne amato soprattutto dal popolo.
Fu lui a ordinare sacerdote Albino Luciani, che molti anni dopo così lo ricordava: «…giovane sacerdote, ho visto quale fosse, nelle prediche, l’“impegno” del mio venerato vescovo mons. Cattarossi. Tirava fuori una piccola carta con su uno schema; se lo metteva davanti e, per lo più in cappella, vi pensava sopra a lungo; i pensieri, più che nella memoria, si preoccupava di agitarli nel cuore; provocandone effetti vivi, raccomandandosi a Dio; poi saliva il pulpito… Vedevo attenzione massima; qua e là, anche tra gli uomini, anche tra i professionisti, commozione visibile, qualche volta perfino lacrime; dopo la predica li sentivo dire: “Quello là, ci crede davvero!”. La forza che li aveva uncinati era nella dottrina esposta, ma anche nella unzione e nella convinzione dell’espositore» (A. Luciani, Lettera al clero sulla Quaresima. 28 marzo 1960, in Opera omnia II, 81).
Mons. Cattarossi morì ultraottantenne nel Vescovado di Belluno il 3 marzo 1944. I funerali si svolsero in cattedrale il 10 marzo successivo presieduto dal card. Piazza, Patriarca di Venezia, presenti i Vescovi del Veneto, numeroso clero ed una folla di popolo forse mai vista ad un funerale: nonostante il periodo bellico e le difficoltà di comunicazioni si calcola che vi abbiano partecipato non meno di ventimila persone. Con solenne corteo la salma fu trasportata nel Cimitero e tumulata nella tomba della Cappella riservata ai Vescovi. Vi rimase soltanto un anno perché il 23 aprile 1945 venne trasportata in cattedrale e sepolta davanti all’altare del santissimo Sacramento. Sopra vi è il suo stemma episcopale con iscrizione: «Qui dolcemente riposa Giosuè Cattarossi, udinese, dall’anno del Signore 1914 all’anno 1944 Vescovo e conte di Feltre e di Belluno, che, pastore buono e anima del gregge, tutti amò aiutò istruì; la sua pietà verso Dio e verso la patria lo rese illustre; il dolore di cittadini lo rimpiange; Dio lo coronerà di gloria. Nacque il 23 aprile 1863, morì il 3 marzo 1944».